Ganzrationale Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt, sind ein grundlegendes Konzept in der Mathematik. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sie nur aus nicht-negativen ganzzahligen Potenzen der Variablen (üblicherweise x
) und Koeffizienten bestehen.
Definition:
Eine ganzrationale Funktion hat die allgemeine Form:
f(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub>
wobei:
x
die Variable ist.a<sub>n</sub>, a<sub>n-1</sub>, ..., a<sub>1</sub>, a<sub>0</sub>
die Koeffizienten sind (reelle Zahlen).n
eine nicht-negative ganze Zahl ist, der Grad der Funktion.Wichtige Begriffe und Eigenschaften:
Grad einer ganzrationalen Funktion: Der Grad ist der höchste Exponent der Variablen x
. Er bestimmt das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine Werte von x
.
Koeffizienten: Die Zahlen a<sub>n</sub>, a<sub>n-1</sub>, ..., a<sub>0</sub>
vor den Potenzen von x
. Der Koeffizient a<sub>n</sub>
des höchsten Grades wird als Leitkoeffizient bezeichnet.
Konstantes Glied: Das konstante Glied ist a<sub>0</sub>
, der Wert der Funktion an der Stelle x = 0
(y-Achsenabschnitt).
Nullstellen: Die Werte von x
, für die f(x) = 0
gilt. Sie sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Das Auffinden von Nullstellen ist ein wichtiges Problem, insbesondere bei Funktionen höheren Grades.
Ableitung: Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion ist wieder eine ganzrationale Funktion mit einem um 1 reduzierten Grad. Sie gibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt an.
Integration: Die Integration einer ganzrationalen Funktion ergibt wieder eine ganzrationale Funktion mit einem um 1 erhöhten Grad.
Spezielle Fälle:
Anwendungen:
Ganzrationale Funktionen finden in vielen Bereichen Anwendung, z.B.:
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